Question

【題目】已知直線．

（1）如圖1，直接寫出的數量關系為 ；

（2）如圖2，與的角平分線所在的直線相交于點，試探究與之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）∠E=∠END-∠BME；（2）∠E+2∠NPM=180°，證明見解析．

【解析】

（1）由AB∥CD，即可得到∠END=∠EFB，再根據∠EFB是△MEF的外角，即可得出∠E=∠EFB-∠BME=∠END-∠BME；

（2）由平行線的性質以及三角形外角性質，即可得到∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，再根據三角形內角和定理，即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠NGB）=180°，即可得到∠E+2∠NPM=180°．

解：（1）如圖1，∵AB∥CD，

∴∠END=∠EFB，

∵∠EFB是△MEF的外角，

∴∠E=∠EFB-∠BME=∠END-∠BME，

故答案為：∠E=∠END-∠BME；

（2）如圖2，延長NP交AB于G，

∵AB∥CD，

∴∠CNP=∠NGB，

∵∠NPM是△GPM的外角，

∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，

∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，

∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，

∵AB∥CD，

∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，

∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，

∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠NGB）=180°，

∴∠E+2∠NPM=180°．