Question

【題目】如圖，已知等腰直角△ABC，點P是斜邊BC上一點（不與B，C重合），PE是△ABP的外接圓⊙O的直徑

（1）求證：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直徑為2，求 的值

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠C=∠ABC=45°,

∴∠PEA=∠ABC=45°

又∵PE是⊙O的直徑，

∴∠PAE=90°,

∴∠PEA=∠APE=45°,

∴ △APE是等腰直角三角形.

（2）

解：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=AB,

同理AP=AE,

又∵∠CAB=∠PAE=90°,

∴∠CAP=∠BAE,

∴△CPA≌△BAE,

∴CP=BE,

在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,

∴PB2+BE2=PE2,

∴CP2+PB2=PE2=4.

【解析】（1）根據等腰直角三角形性質得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直徑，得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,從而得證.
（2）根據題意可知，AC=AB,AP=AE,再證△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得證.