Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝2，點E是BC邊的中點，連接AE，△AB′E和△ABE關于AE所在直線對稱，若△B′CD是直角三角形，則BC邊的長為_____．

Answer 1

【答案】4或2

【解析】

連接BB′，根據直角三角形的判定定理得到∠BB′C＝90°，求得∠B′CD＜90°，（1）如圖1，∠B′DC＝90°，（2）如圖2，∠CB′D＝90°，則B，B′D三點共線，設AE，BB′交于F，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解：連接BB′，

∵BE＝B′E＝EC，

∴∠BB′C＝90°，

∴∠B′CD＜90°，

（1）如圖1，∠B′DC＝90°，

則四邊形ABEB′和ECDB′是正方形，

∴BC＝2AB＝4，

（2）如圖2，∠CB′D＝90°，

則B，B′D三點共線，

設AE，BB′交于F，

則F，B′是對角線BD的三等分點，

∵△BCB′∽△CDB′，

∴，

∴，

∴BC＝CD＝2，

故答案為：4或2．