Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點落在點P處，折痕為EC，連結AP并延長AP交CD于F點，

（1）求證：△CBE≌△CPE；

（2）求證：四邊形AECF為平行四邊形；

（3）若矩形ABCD的邊AB＝6，BC＝4，求△CPF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由折疊的性質可知：EP＝EB，CP＝CE，根據SSS證明三角形全等即可；

（2）由折疊的性質得到BE＝PE，EC與PB垂直，根據E為AB中點，得到AE＝EB＝PE，利用一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形為直角三角形，得到∠APB為90°，進而得到AF與EC平行，再由AE與FC平行，利用兩對邊平行的四邊形為平行四邊形即可得證；

（3）過P作PM⊥CD，在直角三角形EBC中，利用勾股定理求出EC的長，利用面積法求出BQ的長，根據BP＝2BQ求出BP的長，在直角三角形ABP中，利用勾股定理求出AP的長，根據AF﹣AP求出PF的長，由PM與AD平行，得到三角形PMF與三角形ADF相似，由相似得比例求出PM的長，再由FC＝AE＝3，求出三角形CPF面積即可．

（1）解：由折疊可知，EP＝EB，CP＝CB，

∵EC＝EC，

∴△ECP≌△ECB（SSS）．

（2）證明：由折疊得到BE＝PE，EC⊥PB，

∵E為AB的中點，

∴AE＝EB＝PE，

∴AP⊥BP，

∴AF∥EC，

∵AE∥FC，

∴四邊形AECF為平行四邊形；

（3）過P作PM⊥DC，交DC于點M，

在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝4，

根據勾股定理得：

，

，

由折疊得：BP＝2BQ＝，

在Rt△ABP中，AB＝6，BP＝，

根據勾股定理得： ,

∵四邊形AECF為平行四邊形，

∴AF＝EC＝5，FC＝AE＝3，

∴PF＝5﹣＝，

∵PM∥AD，

∴△FPM∽△FAD

，即

解得：PM＝，

則S△PFC＝FCPM＝×3×＝．