Question

【題目】如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸于點．直線經過點，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點的直線交直線于點．

①當時，過拋物線上一動點（不與點，重合），作直線的平行線交直線于點，若以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求點的橫坐標；

②連接，當直線與直線的夾角等于的倍時，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①點的橫坐標為或或；②點的坐標為或．

【解析】

（1）利用一次函數解析式確定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系數法求拋物線解析式；

（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判斷△OCB為等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，則△AMB為等腰直角三角形，所以AM=2，接著根據平行四邊形的性質得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x軸交直線BC于D，如圖1，利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4，設P（m，-m2+6m-5），則D（m，m-5），討論：當P點在直線BC上方時，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；當P點在直線BC下方時，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分別解方程即可得到P點的橫坐標；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E，如圖2，利用等腰三角形的性質和三角形外角性質得到∠AM1B=2∠ACB，再確定N（3，-2），

AC的解析式為y=5x-5，E點坐標為（，-），利用兩直線垂直的問題可設直線EM1的解析式為y=-x+b，把E（，-）代入求出b得到直線EM1的解析式為y=-x-，則解方程組得M1點的坐標；作直線BC上作點M1關于N點的對稱點M2，如圖2，利用對稱性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，設M2（x，x-5），根據中點坐標公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐標，從而得到滿足條件的點M的坐標．

（1）當時，，則，

當時，，解得，則，

把，代入

得：，解得，

∴拋物線解析式為；

（2）①解方程得，，則，

∵，，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∵以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，，

∴，，

作軸交直線于，如圖1所示，則

∴，

設，則，

當點在直線上方時，

，解得，，

當點在直線下方時

，

解得，，

綜上所述，點的橫坐標為或或；

②作于，軸于，作的垂直平分線交于，交于，如圖2，

∵，

∴，

∵，

∵為等腰直角三角形，

∴，

∴，

易得的解析式為，點坐標為，

設直線的解析式為，

把代入得，解得，

∴直線的解析式為，

解方程組，得則；

作直線上作點關于點的對稱點，如圖2，則，

設，

∵，∴，∴，

綜上所述，點的坐標為或．