Question

【題目】已知：如圖，拋物線的頂點為A（0，2），與x軸交于B（﹣2，0）、C（2，0）兩點．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）設點P是拋物線y上的一個動點，連接PO并延長至點Q，使OQ＝2OP．若點Q正好落在該拋物線上，求點P的坐標；

（3）設點P是拋物線y上的一個動點，連接PO并延長至點Q，使OQ＝mOP（m為常數）；

①證明點Q一定落在拋物線上；

②設有一個邊長為m+1的正方形（其中m＞3），它的一組對邊垂直于x軸，另一組對邊垂直于y軸，并且該正方形四個頂點正好落在拋物線和組成的封閉圖形上，求線段PQ被該正方形的兩條邊截得線段長最大時點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2）（，1）（-，1）（3）①見解析②當點Q與正方形右下或左下頂點重合時，PQ被正方形上下兩邊所截線段最長，此時點Q的坐標為（2+，-5-4）或（-2-，-5-4）．

【解析】

（1）用兩點式求出拋物線解析式；

（2）設點P坐標，作PE⊥x軸，FQ⊥x軸，利用相似關系求出點Q坐標，因為點Q在拋物線上，所以將點Q坐標代入解析式，求得點P坐標；

（3）①同（2）的方法，求出點Q坐標代入y2解析式，可證明點Q在拋物線y2上；

②因為y1與y2拋物線都是以y軸為對稱軸的拋物線，所以正方形也是以y軸對稱，從而獲得正方形右側點的橫坐標，代入各自解析式獲得縱坐標，以右側兩點的縱坐標做差等于正方形邊長，列出方程求出m的值，從而獲得正方形四個頂點的坐標，由圖可知，當Q點與正方形的左下和右下端點重合時PQ被正方形所截的線段最大，從而獲得點Q坐標．

解：（1）由條件可設拋物線y1＝ax2+2，將C（2，0）代入

可得拋物線；

（2）如圖，作PE⊥x軸，FQ⊥x軸

設點P（t，），

利用△PEO∽△OFQ可求得點Q（﹣2t，t2﹣4）．

把Q（﹣2t，t2﹣4）代入中，

得：t2﹣4＝，

∴3t2＝6，

∴t=±，

∴P1（，1），P2（，1）；

（3）①證明：設點P（t，），

利用相似可求得點Q（﹣mt，）．

將x＝﹣mt代入中，

得：．

∴點Q一定落在拋物線上；

②如圖所示

∵正方形的邊長為m+1，

由拋物線的對稱性可知

正方形右邊兩個頂點橫坐標為，

將x＝代入拋物線解析式

可得兩點縱坐標分別為：和，

∴-＝m+1，

解得：．

∵m＞3，

∴.

∴正方形右邊兩個頂點橫坐標為，

將x＝代入得：

，

∴正方形右下頂點的縱坐標為．

∴正方形右下頂點的坐標為（），

同理，正方形左下頂點的坐標為（，）．

設PQ與y軸所成的角為α，當PQ與正方形上下兩邊相交時，

PQ被正方形上下兩邊所截線段的長，

當α增大時，cosα減小，增大，

當PQ經過正方形右下頂點時，α最大，PQ被正方形上下兩邊所截線段最大，此時點Q與正方形右下或左下頂點重合；

當PQ與正方形上右兩邊（或上左兩邊）相交時，由圖形可知隨著α的增大，PQ被正方形上下兩邊所截線段的長減小，

綜上所述，當點Q與正方形右下或左下頂點重合時，PQ被正方形上下兩邊所截線段最長，

此時點Q的坐標為（）或（，）．