Question

【題目】已知：△ABC中，點D在邊AC上，且AB2＝ADAC．

（1）如圖1．求證：∠ABD＝∠C．

（2）如圖2．在邊BC上截取BE＝BD，ED、BA的延長線交于點F，求證：.

（3）在 （2）的條件下，若AD＝4，CD＝5，cos∠BAC＝，試直接寫出△FBE的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）S△BEF＝．

【解析】

（1）根據兩邊成比例夾角相等兩三角形相似證明△ABD∽△ACB即可解決問題．

（2）過點B作BG∥AC交FE的延長線于點G．證明△BDF≌△BEG（ASA），推出DF=EG，推出EF=GD，由BG∥AC推出 可得答案 ．

（3）如圖2中，過點B作BG∥AC交FE的延長線于點G，作CH⊥AB于H，FJ⊥BE于J．利用相似三角形的性質求出AB，再證明CA=CB，再利用相似三角形的性質求出BD，解直角三角形求出FJ即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，

∵AB2＝ADAC 即，

又∵∠A＝∠A

∴△ABD∽△ACB，

∴∠ABD＝∠C．

（2）解：過點B作BG∥AC交FE的延長線于點G．

∵BG∥AC，

∴∠C＝∠GBE，

∵∠ABD＝∠C，

∴∠GBE＝∠C＝∠ABD，

∵BD＝BE，

∴∠BDE＝∠BED，

∴∠BDF＝∠BEG，

∴△BDF≌△BEG（ASA），

∴DF＝EG，

∴EF＝GD，

∵BG∥AC，

∴，

即．

（3）解：如圖2中，過點B作BG∥AC交FE的延長線于點G，作CH⊥AB于H，FJ⊥BE于J．

∵AB2＝ADAC，AD＝4．CD＝5，

∴AB2＝4×9，

∴AB＝6，

在Rt△AHC中，∵cos∠CAH＝，

∴AH＝3，

∴BH＝AH＝3，

∵CH⊥AB，

∴CA＝CB，

∴∠CAB＝∠CBA，

∵AD∥BG，

∴，

△BDF≌△BEG

FB＝BG，

∴AF＝AD＝4，

∴BF＝AB+AF＝6+4＝10，

∵cos∠FBJ＝cos∠BAC＝，

∴BJ＝，

∴FJ＝，

∵△ABD∽△ACB，

∴，

∴，

∴BD＝BE＝6，

∴S△BEF＝BEFJ＝．