Question

問題1：如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠D，AB=BC=CD，點M，N分別在AD，CD上，若∠MBN=∠ABC，試探究線段MN，AM，CN有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，不用證明；
問題2：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，點M，N分別在DA，CD的延長線上，若∠MBN=∠ABC仍然成立，請你進一步探究線段MN，AM，CN又有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給予證明.

解：（1）猜想：____________________
（2）猜想：____________________
證明：

Answer 1

（1）；（2）．

試題分析：（1）如圖1，先判定梯形是等腰梯形，根據等腰梯形的性質可得，再把繞點順時針旋轉使點與點重合，點到達點，根據旋轉變換的性質，和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，，根據全等三角形對應角相等可得，，然后證明、、三點共線，再利用“邊角邊”證明和全等，然后根據全等三角形對應邊相等即可得證．

（2）如圖2，在內部作交于點，然后證明，再利用“角邊角”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，，再證明，利用“邊角邊”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，從而得到．

試題解析：解：猜想的結論：（1）；（2）猜想的結論：．
理由如下：如圖，作交于點，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．