Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．

（1）求證：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．

Answer 1

詳見試題解析.

試題分析：
（1）根據角平分線的性質和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．
試題解析：
（1）∵BD平分∠ABC，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD
∴PM=PN
∵PD=PD    Rt△PMD≌Rt△PND
∴∠ADB=∠CDB          （5分）
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD
∴∠PMD=∠PND=90°
∵∠ADC=90°，
∴四邊形MPND是矩形
∵PM=PN
∴四邊形MPND是正方形               （10分）