Question

【題目】直線與雙曲線只有一個交點A（1，2），且與x軸、y軸分別交于B、C兩點，AD垂直平分OB，垂足為D，

求：（1）直線、雙曲線的解析式．

（2）線段BC的長；

（3）三角形BOC的內心到三邊的距離．

Answer 1

【答案】（1）y=-2x+4，y＝；（2）2；（3）3-．

【解析】

（1）首先根據待定系數法確定雙曲線的解析式，然后根據直線，雙曲線只有一個交點，利用一元二次方程的判別式可以確定直線的解析式；
（2）根據（1）的結論可以確定OB，OC的長，再利用勾股定理可以確定BC的長；
（3）根據（2）結合內切圓的知識可以得內心到三邊的距離．

解：（1）把A（1，2）代入得k2=2，代入y=k1x+b得2=k1+b，
直線y=k1x+b與雙曲線只有一個交點A，
∴y＝=k1x+b，
∴k1x2+bx-2=0
∴根的判別式△=b2-4k1×（-2）=b2+8k1=0，
∴b=4，k1=-2，
∴y=-2x+4，y＝；
（2）當x=0時，y=4，當y=0時，x=2，
∴B（2，0），C（0，4），
∴BC=2；
（3）如圖，∵OB=2，OC=4，BC=2，

∴根據切線長定理得到Rt△OBC的內心P到三邊的距離r= （OB+OC-BC）=3-．