Question

【題目】已知Rt△OAB，∠OAB=90o，∠ABO=30o，斜邊OB=4，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉60o，如圖1，連接BC．

(1)ΔOBC的形狀是 ；

(2)如圖1，連接AC，作OP⊥AC，垂足為P，求OP的長度；

(3)如圖2，點M、N同時從點O出發，在△OCB邊上運動，M沿O→C→B路徑勻速運動，N沿O→B→C路徑勻速運動，當兩點相遇時運動停止.已知點M的運動速度為1.5單位/秒，點N的運動速度為1單位/秒.設運動時間為x秒，△OMN的面積為y，求當x為何值時y取得最大值？最大值為多少？(結果可保留根號) ．

Answer 1

【答案】(1)等邊三角形；(2) ；(3) 時，y有最大值，

【解析】

（1）根據有一個角為60o的等腰三角形為等邊三角形便可判斷．

（2）先計算出OA、AB長度，利用面積法便可求出OP．

（3）分三種情況討論，當0＜x≤時，點N作NE⊥OC，計算NE，便可找到面積的最值；當＜x≤4時，作MH⊥OB于H．計算BM=8﹣1.5x，MH的值，便可找到面積的最值；當＜x≤4時，作OG⊥BC于G．MN=12﹣2.5x，OG的值，便可計算面積最值．

（1）等邊三角形

Rt△OAB繞點O順時針旋轉60o

∴OB=OC ∠BOC=60°

∴ΔOBC的形狀為等邊三角形．

(2)∵OB=4，∠ABO=30°，∴OA= OB=2，AB= OA=2，

∴S△AOC= OAAB=×2×2=2，

∵△BOC是等邊三角形，∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，

∴AC= =2，∴OP= ．

(3)①當0＜x≤時，M在OC上運動，N在OB上運動，此時過點N作NE⊥OC且交OC于點E．則NE=ONsin60°= ，∴S△OMN= OMNE= ×1.5·，∴．

∴ 時，y有最大值，．

②當＜x≤4時，M在BC上運動，N在OB上運動．

作MH⊥OB于H．則BM=8﹣1.5x，MH=BMsin60°= ，

∴y= ×ON·MH=．當時，y取最大值，，

③當4＜x≤4.8時，M、N都在BC上運動，作OG⊥BC于G．

MN=12﹣2.5x，OG=AB=2，∴y= MNOG=12 ，

當x=4時，y有最大值，，綜上所述，y有最大值，．