Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形中，為的中點，為邊上一動點，設，線段的垂直平分線分別交邊、于點、，過作于點，過作于點．

（1）當時，求證：；

（2）順次連接、、、，設四邊形的面積為，求出與自變量之間的函數關系式，并求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），的最小值為2

【解析】

（1）由四邊形是正方形得到，，又由，利用ASA即可證得；

（2）分為兩種情況：①當在上時，由點是邊的中點，，，又由勾股定理求得，由得到的值，又求得面積，由范圍得到的最小值；②當在上時，同法可求的最小值．

解：（1）證明：∵四邊形是正方形，

∴，，

∵，，

∴，

∴四邊形、都是矩形，

∴，，，

∴MF=QE

又∵，

∴，，

∵，

∴，

又∵，

∴；

（2）解：分為兩種情況：①當在上時，

∵點是邊的中點，，，

∴，，，

由勾股定理，得，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∵0≤AE≤AP

∴，

∴當時，．

②當在上時，

∵點是邊的中點，，，

∴，，，

由勾股定理，得，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∵AP≤AE≤AB

∴，

∴當時，．

綜上：，的最小值為2．