Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2x+c經過點A（0，3）、B（﹣1，0），請解答下列問題：

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的頂點為D，與x軸的另一交點為C，對稱軸交x軸于點E，連接BD，求cos∠DBE；
（3）在直線BD上是否存在點F，使由B、C、F三點構成的三角形與△BDE相似？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（0，3）、B（﹣1，0）代入y=ax2+2x+c可得：

c=3，a=﹣1，

拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3

（2）

解：∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4），

∴BE=2，DE=4，

∴BD= =2 ，

∴cos∠DBE= =

（3）

解：∵B（﹣1，0），D（1，4），

∴直線BD的解析式為y=2x+2，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣3）（x+1），

∴C（3，0），

∴BC=4，

①若△BED∽△BFC，如圖1，

則∠BED=∠BFC=90°，

作FG⊥BC于G，

∵cos∠CBF= ，

∴BF= ，

∴BG= = ，

∴OG= ，GF= ，

∴F（﹣ ， ）；

②若△BED∽△BCF，如圖2，

則∠BCF=90°，

∴F點橫坐標為3，

將3代入BD解析式得：y=8，

∴F（3，8）；

綜上所述，滿足要求的F點的坐標為：（﹣ ， ）、（3，8）

【解析】（1）將A、B兩點坐標代入即可求得解析式；（2）先求出D點坐標，從而求出BE、DE、BD長度，cos∠DBE則可直接算出；（3）由于B是公共點，不可能是直角頂點，所以就只剩下兩種情，即讓C和F分別為直角頂點，根據相似性質，列出比例等式計算即可．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．