Question

【題目】如圖1， ABCD和AEFG是兩個能完全重合的平行四邊形，現從AB與AE重合時開始，將ABCD固定不動， AEFG繞點A逆時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜360°），AB=a,BC=2a；并發現：如圖2，當AEFG旋轉到點E落在AD上時，FE的延長線恰好通過點C.

探究一:

（1）在圖2的情形下，求旋轉角α的度數；

探究二:

（2）如圖3，當AEFG旋轉到點E落在BC上時，EF與AD相交于點M，連接CM，DF，請你判斷四邊形CDFM的形狀，并給予證明；

探究三:

（3）如圖1，連接CF，BF，在旋轉過程中△BCF的面積是否存在最大的情形，如果存在，求出最大面積，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）α=120°；（2）四邊形CDFM是菱形，證明見解析；（3）存在△BCF的面積最大的情形，S△BCF =a2.

【解析】試題分析：（1）由平行四邊形的性質知

∠D=∠B，AB=CD=a，可得∠D=∠DEC，由等角對等邊知CD=CE，由AE=AB=a，AD=BC=2a，可得DE=CE，即可證得△CDE是等邊三角形，∠D=60°，由兩直線平行，同位角相等可得∠DAB=120°，即可求得α；

（2）由旋轉的性質以及∠B=60°，可得△ABE是等邊三角形，由平行線的判定以及兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證四邊形ABEM是平行四邊形，再由由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；

（3）當點F到BC的距離最大時，△BCF的面積最大，由于點F始終在以A為圓心AF為半徑的圓上運動，故當FG與⊙A相切時，點F到BC的距離最大，過點A作AH⊥BC于點H，連接AF，由題意知∠AFG=90°.由∠ABH=∠G=60°，AB=a，AG=2a，可得AH、AF的值.可求得點F到BC的最大距離.進而求得S△BCF的值.

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠D=∠B，AB=CD=a，

∵∠AEF=∠B，∠AEF=∠DEC，

∴∠D=∠DEC，

∴CD=CE，

∵AE=AB=a，AD=BC=2a，

∴DE=CE.，

∴CD=CE=DE，

∴△CDE是等邊三角形，

∴∠D=60°，

∵CD∥AB，

∴∠D+∠DAB=180°，

∴∠DAB=120°，

∴α=120°.；

（2）四邊形CDFM是菱形.

證明：由旋轉可得AB=AE，

∵∠B=60°，

∴△ABE是等邊三角形，

∴∠BAE=60°，

∴∠BAG=∠BAE+∠GAE=60°+120°=180°，

∴點G，A，B在同一條直線上，

∴ME ∥AB，BE∥AM，

∴四邊形ABEM是平行四邊形，

∴AM=AB=ME，

∴CD=DM=MF，

∵CD ∥AB∥MF，

∴四邊形CDFM是平行四邊形，

∵∠D= 60°，CD=DM，

∴△CDM是等邊三角形，

∴CD=DM，

∴四邊形CDFM是菱形；

（3）存在△BCF的面積最大的情形.

∵CB的長度不變，

∴當點F到BC的距離最大時，△BCF的面積最大.

∵點F始終在以A為圓心AF為半徑的圓上運動，

∴當FG與⊙A相切時，點F到BC的距離最大，

如圖，過點A作AH⊥BC于點H，連接AF，

則∠AFG=90°.

∵∠ABH=∠G=60°，AB=a，AG=2a，

∴AH=AB×sin60°=a，AF=AG×sin60°= a.

∴點F到BC的最大距離為a+ a=a.

∴S△BCF=×2a×a=a2.