Question

【題目】如圖，△OAC中，以O為圓心，OA為半徑作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足為O，連接AB交OC于點D，∠CAD=∠CDA．
（1）判斷AC與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若OA=5，OD=1，求線段AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：線段AC是⊙O的切線；

理由如下：∵∠CAD=∠CDA（已知），∠BDO=∠CDA（對頂角相等），

∴∠BDO=∠CAD（等量代換）；

又∵OA=OB（⊙O的半徑），

∴∠B=∠OAB（等邊對等角）；

∵OB⊥OC（已知），

∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，

∴線段AC是⊙O的切線

（2）解：設AC=x（x＞0）．

∵∠CAD=∠CDA（已知），

∴DC=AC=x（等角對等邊）；

∵OA=5，OD=1，

∴OC=OD+DC=1+x；

∵由（1）知，AC是⊙O的切線，

∴在Rt△OAC中，根據勾股定理得，

OC2=AC2+OA2，即

（1+x）2=x2+52，

解得x=12，即AC=12．

【解析】（1）根據已知條件“∠CAD=∠CDA”、對頂角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根據等腰三角形OAB的兩個底角相等、直角三角形的兩個銳角互余的性質推知∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°．所以線段AC是⊙O的切線；（2）根據“等角對等邊”可以推知AC=DC，所以由圖形知OC=OD+CD；然后利用（1）中切線的性質可以在Rt△OAC中，根據勾股定理來求AC的長度．
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和切線的判定定理，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案．