Question

【題目】（2016吉林省）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=cm，AD⊥BC于點D，點P從點A出發，沿A→C方向以cm/s的速度運動到點C停止，在運動過程中，過點P作PQ∥AB交BC于點Q，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（點M，C位于PQ異側）．設點P的運動時間為x（s），△PQM與△ADC重疊部分的面積為y（cm2）

（1）當點M落在AB上時，x= ；

（2）當點M落在AD上時，x= ；

（3）求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）；（3）．

【解析】試題分析：（1）當點M落在AB上時，四邊形AMQP是正方形，此時點D與點Q重合，由此即可解決問題．

（2）如圖1中，當點M落在AD上時，作PE⊥QC于E，先證明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得=，由此即可解決問題．

（3）分三種情形①當0＜x≤4時，如圖2中，設PM、PQ分別交AD于點E、F，則重疊部分為△PEF，②當4＜x≤時，如圖3中，設PM、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形PEGQ．③當＜x＜8時，如圖4中，則重合部分為△PMQ，分別計算即可解決問題．

試題解析：解：（1）當點M落在AB上時，四邊形AMQP是正方形，此時點D與點Q重合，AP=CP=，所以x==4．故答案為：4．

（2）如圖1中，當點M落在AD上時，作PE⊥QC于E．

∵△MQP，△PQE，△PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PC，∴DQ=QE=EC，∵PE∥AD，∴=，∵AC=，∴PA=，∴x=÷=．故答案為：．

（3）①當0＜x≤4時，如圖2中，設PM、PQ分別交AD于點E、F，則重疊部分為△PEF，

∵AP=x，∴EF=PE=x，∴y=S△PEF=PEEF=．

②當4＜x≤時，如圖3中，設PM、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形PEGQ．

∵PQ=PC=，∴PM=16﹣2x，∴ME=PM﹣PE=16﹣3x，∴y=S△PMQ﹣S△MEG==．

③當＜x＜8時，如圖4中，則重合部分為△PMQ，∴y=S△PMQ===．

綜上所述．