Question

【題目】已知：點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC=70°．

（1）如圖1，若OD平分∠AOC，求∠DOB的度數；

（2）射線OM從OA出發，繞點O以每秒6°的速度逆時針旋轉，同時，射線ON從OC出發繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉，OM與ON同時出發(當ON首次與OB重合時，兩條射線都停止運動)，設運動的時間為t秒．

(i)如圖2，在整個運動過程中，當∠BON=2∠COM時，求t的值；

(ⅱ)如圖3，OP平分∠AOM，OQ平分∠BON，是否存在合適的t，使OC平分∠POQ，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）145°；（2）(i)t或；(ⅱ)當t=3秒時，OC平分∠POQ．

【解析】

（1）由角平分線定義求出∠AOD．再由平角求得∠BOD；

（2）（i）分兩種情況：OM沒超過OC時，OM超過OC時，列出t的方程，解方程便可得答案；

（ⅱ）由題意知OP在OQ的右邊，據此畫出草圖，分別用t表示∠COP和∠COQ，由兩角相等，列出t的方程進行解答便可．

（1）∵∠AOC=70°，OD平分∠AOC，∴∠AOD=35°，∴∠DOB=180°﹣∠AOD=145°；

（2）∵∠AOC=70°，∴∠BOC=180°﹣70°=110°，

(i)∵70°÷6(秒)，110°÷4(秒)

當0＜t時，如圖1，

則∠BON=180°﹣70°﹣4t=110°﹣4t，∠COM=70°﹣6t．

∵∠BON=2∠COM，

∴110°﹣4t=2(70°﹣6t)，

∴t(秒)；

當時，如圖2，

則∠BON=180°﹣70°﹣4t=110°﹣4t，∠COM=6t﹣70°．

∵∠BON=2∠COM，

∴110°﹣4t=2(6t﹣70°)，

∴t(秒)

綜上，t或；

(ⅱ)如圖3，∠AOM=6t，∠BON=110°﹣4t，

∵OP平分∠AOM，OQ平分∠BON，

∴∠AOP=3t，∠NOQ=55°﹣2t，

∴∠COP=70°﹣3t，∠COQ=4t(110°﹣4t)=55°+2t．

∵OC平分∠POQ，

∴70°﹣3t=55°+2t，

∴t=3(秒)，

∴當t=3秒時，OC平分∠POQ．