Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，角BAC的平分線交BC于點D，M為AB邊中點，N是AD上的動點．

①在圖上作出使得BN+MN的和最小時點N的位置，并說明理由．

②求出BN+MN的最小值．（提示：Rt△ABC中，∠C＝90°，則有AC2+BC2＝AB2成立）

Answer 1

【答案】①詳見解析；②BN+MN最小值為2.

【解析】

①連接CM，交AD于點N，由題意可得直線AD是等邊△ABC的對稱軸，即CN＝BN，則BN+MN＝CN+MN，根據兩點之間，線段最短，可得當點N在CM上時，BN+MN最短；

②利用勾股定理可求CM的長度，即可得BN+MN的最小值

解：①如圖：連接CM，交AD于點N

∵AD是等邊△ABC的角平分線，

∴直線AD是等邊△ABC的對稱軸

∴BN＝CN

∴BN+MN＝CN+MN

根據兩點之間，線段最短，當點N在線段CM上時，BN+MN最短．

即點N位于CM與AD的交點時，BN+MN最短．

②當點N在CM上時，BN+MN最短，即BN+MN最小值為CM的長度

∵點M是AB的中點

∴AM＝BM＝2

在Rt△ACM中，CM＝＝2

∴BN+MN最小值為2