Question

【題目】將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如圖①擺放，點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經過點C.

（1）求∠ADE的度數；
（2）如圖②，將△DEF繞點D順時針方向旋轉角 ，此時等腰直角三角尺記為 ， 交AC于點M， 交BC于點N，試判斷 的值是否隨著 的變化而變化？如果不變，請求出 的值；反之，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=90°，點D為AB的中點，
∴CD=AD=BD= AB，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠ADC=180°-30°×2=120°，
∴∠ADE=∠ADC-∠EDF=120°-90°=30°
（2）解：不變化．
∵∠EDF=90°，
∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，
∴∠PDM=∠CDN，
∵∠B=60°，BD=CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠BCD=60°，
∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，
∴∠CPD=∠BCD，
在△DPM和△DCN中，
，
∴△DPM∽△DCN，
∴ ，
∵ =tan∠ACD=tan30°= ，
∴ 的值不隨著α的變化而變化，是定值
【解析】先根據直角三角形斜邊上的中線性質得CD=AD=DB，則∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根據旋轉的性質得∠PDM=∠CDN=α，于是可判斷△PDM∽△CDN，然后在Rt△PCD中利用正切的定義得到tan∠PCD=tan30°的值，于是可得結論。