Question

【題目】如圖，將一個三角板放在邊長為1的正方形上，并使它的直角頂點在對角線上滑動，直角的一邊始終經過點，另一邊與射線相交于點．

（1）當點在邊上時，過點作分別交，于點，，證明：；

（2）當點在線段的延長線上時，設、兩點間的距離為，的長為．

①直接寫出與之間的函數關系，并寫出函數自變量的取值范圍；

②能否為等腰三角形？如果能，直接寫出相應的值；如果不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①．②能為等腰三角形，．

【解析】

（1）根據正方形的性質證明，即可求解；

（2）①根據題意作圖，由正方形的性質可知當時，點在線段的延長線上，同理可得，得到MP=NQ，利用等腰直角三角形的性質可知MP=x，NC=CD-DN=1-x，CQ=y，代入MP=NQ化簡即可求解；

②由是等腰三角形，∠PCQ=135°，CP=CQ成立，代入解方程即可求解 ，

（1）證明：∵在正方形中，為對角線，

∴，，∵，

∴，，

∴，

又∵，

∴．

∵，∴．

又∵，∴，

∴，

在中，

∵

∴，∴．

（2）①如圖，點在線段的延長線上，

同（1）可證，

∴MP=NQ，

在等腰直角三角形AMP中，AP==x

∴MP=x=AM,

∴NC=BM=AB-AM=1-x

故NQ=NC+CQ=1-x+y

∴x=1-x+y

化簡得

當P點位于AC中點時，Q點恰好在C點，又AP＜AC=

∴

∴與之間的函數關系是（）

②當時，能為等腰三角形，

理由：當點在的延長線上，CQ=，CQ=AC-AP=，

由是等腰三角形，∠PCQ=∠PCB+∠BCQ=45°+90°=135°，

∴CP=CQ成立，

即時，解得．