Question

【題目】數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動，將邊長為的正方形ABCD與邊長為的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一條直線上，AB與AG在同一條直線上.

(1)小明發現DG⊥BE，請你幫他說明理由.

(2)如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）3.

【解析】

（1）根據正方形的性質，得△ADG≌△ABE，所以∠AGD＝∠AEB. 延長EB交DG于點H.由圖形及題意，得到∠DHE ＝90°，所以，.（2）根據正方形的性質等，先證明△ADG≌△ABE(SAS) ，得到DG＝BE. 過點A作AM⊥DG交DG于點M.由題意，得AM＝BD＝1，再由勾股定理，得到GM＝2，所以DG＝DM＋GM＝1＋2＝3，最后得到BE＝DG＝3.

(1)四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形

∴AD＝AB,∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE

∴△ADG≌△ABE

∴∠AGD＝∠AEB

如圖1，延長EB交DG于點H

△ADG中 ∠AGD＋∠ADG＝90°

∴∠AEB＋∠ADG＝90°

△DEH中, ∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°

∴∠DHE ＝90°

∴

(2)四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形

∴AD＝AB, ∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE

∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG

∴∠DAG＝∠BAE

AD＝AB, ∠DAG＝∠BAE,AG＝AE

∴△ADG≌△ABE(SAS)

∴DG＝BE

如圖2，過點A作AM⊥DG交DG于點M,

∠AMD＝∠AMG＝90°

BD是正方形ABCD的對角線

∴∠MDA＝∠MDA＝∠MAB＝45°, BD＝2

∴AM＝BD＝1

在Rt△AMG中，

∵

∴GM＝2

∵DG＝DM＋GM＝1＋2＝3

∴BE＝DG＝3