Question

【題目】若一個四位自然數滿足個位與百位相同，十位與千位相同，我們稱這個數為“雙子數”.將“雙子數”的百位、千位上的數字交換位置，個位、十位上的數字也交換位置，得到個新的雙子數，記為“雙子數”的“雙11數”.例如，，，則.

（1）計算2424的“雙11數”______；

（2）若“雙子數”的“雙11數”的是一個完全平方數，求的值；

（3）已知兩個“雙子數”、，其中，（其中，，，且、、、都為整數，若的“雙11數”能被17整除，且、的“雙11數”滿足，令，求的值.

Answer 1

【答案】（1）12；（2）4或16或36；；（3）51或17．

【解析】

（1）直接根據“雙子數”m的“雙11數”的計算方法即可得出結論；

（2）設出四位數，進而得出F(m)=2(x+y)，再求出0＜x+y≤18，再根據F(m)是一個完全平方數，求出x+y，即可得出結論；

（3）先根據“雙11數”F(p)能被17整除，進而判斷出p為8989，求出F(q)=2(c+d)，再根據F(p)+2F(q)﹣(4a+3b+2d+c)=0，得出d，進而求出c，d，即可得出結論．

（1）由題意知，2424的“雙11數”F（2424）12．

故答案為：12；

（2）設“雙子數”m的個位數字和十位數字分別為x，y，(0≤x≤9，0＜y≤9)

則數字m為1000y+100x+10y+x=1010y+101x，

∴“雙子數”m'為1010x+101y，

∴F(m)2(x+y)．

∵0≤x≤9，0＜y≤9，

∴0＜x+y≤18．

∵F(m)是一個完全平方數，

∴2(x+y)是一個完全平方數，

∴x+y=2或x+y=8或x+y=18，

∴F(m)=2×2=4或16或36，

即：F(m)的值為4或16或36；

（3）∵“雙子數”p，p，

∴F(p)=2(a+b)．

∵“雙11數”F(p)能被17整除，

∴a+b是17的倍數．

∵1≤a＜b≤9，

∴3≤a+b＜18，

∴a+b=17，

∴a=8，b=9，

∴“雙子數”p為8989，F(p)=34．

∵“雙子數”q，q，

∴F(q)=2(c+d)．

∵F(p)+2F(q)﹣(4a+3b+2d+c)=0，

∴34+2×2(c+d)﹣(4×8+3×9+2d+c)=0，

∴3c+2d=25，

∴d，

∵1≤c≤9，1≤d≤9，c≠d，c、d都為整數，

∴c為奇數，1≤c＜9，

當c=1時，d=11，不符合題意，舍去，

當c=3時，d=8，

∴“雙子數”q為3838，

∴G(p，q)51，

當c=5時，d=5，不符合題意，舍去，

當c=7時，d=2，

∴“雙子數”q為7272，

∴G(p，q)17，

∴G(p，q)的值為51或17．