Question

【題目】已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點(點D不與B、C重合)，以AD為邊作等邊△ADE(頂點A、D、E按逆時針方向排列)，連接CE．

(1)如圖1，當點D在邊BC上時，求證：①BD＝CE，②AC＝CE+CD；

(2)如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論AC＝CE+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CE、CD之間存在的數量關系，并說明理由；

(3)如圖3，當點D在邊BC的反向延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CE、CD之間存在的數量關系．

Answer 1

【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析；(2)AC＝CE+CD不成立，AC、CE、CD之間存在的數量關系是：AC＝CE﹣CD，理由見解析；(3)補圖見解析；AC＝CD﹣CE．

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質及等式的性質證明△ABD≌△ACE，從而得出結論；

（2）根據等邊三角形的性質及等式的性質就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD＝CE，就可以得出AC＝CE﹣CD；

（3）先根據條件畫出圖形，根據等邊三角形的性質及等式的性質就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD＝CE，就可以得出AC＝CD﹣CE．

(1)∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°．

∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴BD＝CE．

∵BC＝BD+CD，AC＝BC，

∴AC＝CE+CD；

(2)AC＝CE+CD不成立，

AC、CE、CD之間存在的數量關系是：AC＝CE﹣CD．

理由：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°．

∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE(SAS)

∴BD＝CE

∴CE﹣CD＝BD﹣CD＝BC＝AC，

∴AC＝CE﹣CD；

(3)補全圖形(如圖)

AC、CE、CD之間存在的數量關系是：AC＝CD﹣CE．

理由：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°．

∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，

∴∠BAD＝∠CAE

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE(SAS)

∴BD＝CE．

∵BC＝CD﹣BD，

∴BC＝CD﹣CE，

∴AC＝CD﹣CE．