Question

【題目】如圖，是等腰直角三角形底邊上的高，點是的中點，延長到，使，連接.

(1)求證：四邊形是矩形；

(2)填空：

①若，，則四邊形的面積=_____：

②若，則____時，四邊形是正方形.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①120；②.

【解析】

（1）先證明，可得OE=OD，根據平行四邊形的判定得出四邊形ADCE是平行四邊形，根據垂直推出∠ADC=90°，可證四邊形是矩形；

（2）①求出DC，根據勾股定理求出AD，根據矩形的面積公式求出即可；②由正方形的判定方法可知，當CD=AD時，四邊形是正方形，然后根據勾股定理列式求解即可.

(1)證明：∵，

∴，.

∵點是的中點，

∴.

∴，

∴，

∴四邊形是平行四邊形.

∵是等腰三角形底邊上的高，∴，

∴四邊形是矩形.

(2) ①解：∵AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BC=16，AB=17，

∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，

由勾股定理得：AD===15，

∴四邊形ADCE的面積是AD×DC=15×8=120；

②∵四邊形是矩形，

∴當CD=AD時，四邊形是正方形，

∵是等腰三角形底邊上的高，

∴BD=CD，

∵BD2+AD2=AB2，

∴2BD2=100，

∴BD=5，

∴BC=.