Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標是（0，2），點C是x軸上的一個動點．當點C在x軸上移動時，始終保持△ACP是等邊三角形（點A、C、P按逆時針方向排列）；當點C移動到點O時，得到等邊三角形AOB（此時點P與點B重合）．

初步探究

(1)寫出點B的坐標　 　；

(2)點C在x軸上移動過程中，當等邊三角形ACP的頂點P在第三象限時，連接BP，求證：△AOC≌△ABP．

深入探究

(3)當點C在x軸上移動時，點P也隨之運動．探究點P在怎樣的圖形上運動，請直接寫出結論；并求出這個圖形所對應的函數表達式．

拓展應用

(4)點C在x軸上移動過程中，當△POB為等腰三角形時，直接寫出此時點C的坐標．

Answer 1

【答案】(1)（，1）；(2)證明見解析；(3)點P在過點B且與AB垂直的直線上，點P所在直線的函數表達式為y=x﹣2；(4)（﹣2，0）或（﹣，0）或（﹣2，0）或（2，0）．

【解析】

（1）如圖1中，作BH⊥OA于H．利用等邊三角形的性質，解直角三角形求出BH、OH即可；

（2）根據SAS即可判斷；

（3）點P在過點B且與AB垂直的直線上．當點P在y軸上時，得P（0，﹣2）．由B（，1）．設點P所在直線的函數表達式為：y=kx+b（k≠0）．把點B、P的坐標分別代入即可解決問題；

（4）分四種情形分別求解即可解決問題；

(1)如圖1中，作BH⊥OA于H．

∵△AOB是等邊三角形，OA=OB=AB=2，∠BOH=60°

在Rt△OBH中，BH=OBsin60°=，OH=AH=1，

∴B（，1）．

(2)如圖2中

∵△AOB與△ACP都是等邊三角形，

∴AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，

∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，

即∠CAO=∠PAB，

在△AOC與△ABP中，

∴△AOC≌△ABP（SAS）．

(3)如圖2中，∵△AOC≌△ABP（SAS）．

∴∠ABP=∠AOC=90°，

∴PB⊥AB，

∴點P在過點B且與AB垂直的直線上．

當點P在y軸上時，得P（0，﹣2）．

∵B（，1）．

設點P所在直線的函數表達式為：y=kx+b（k≠0）．把點B、P的坐標分別代入，得

所以點P所在直線的函數表達式為：y=x﹣2．

(4)如圖3中，

①當OB=BP1=2時，OC1=BP1=2，此時C1（2，0）．

②當P2O=P2B時，OC2=BP2=，此時C2（﹣，0）．

③當OB=BP3=2時，OC3=2，此時C3（﹣2，0）．

④當OB=OP4時，OC4=BP4=2，此時C4（﹣2，0），

故答案為（﹣2，0）或（﹣，0）或（﹣2，0）或（2，0）．