Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，CA=CB，AD是腰BC邊上的高，△ACD的內切圓⊙E分別與邊AD、BC相切于點F、G，連AE、BE．
（1）求證：AF=BG；
（2）過E點作EH⊥AB于H，試探索線段EH與線段AB的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）設△ACD的內切圓⊙E與邊AC相切于點I，
△ACD的內切圓⊙E與邊BC相切于點G，所以CI=CG．
同理：AI=AF．
∵CA=CB，CI=CG，∴AI=BG．
又∵AI=AF，∴AF=BG．
（2）EH=AB，
理由：連接AE、BE、CE，
∵E是△ACD的內切圓的圓心，
∴CE平分∠ACB．
即∠ACE=∠BCE，
在△ACE和△BCE中，
，
∴△ACE≌△BCE（SAS）．
∴∠AEC=∠BEC，AE=BE，
∵E是△ACD的內切圓的圓心，∠ADC=90°，
∵∠AEC=90°+∠ADC=135°，
從而∠AEB=90°，又AE=BE，
∴△ABE為等腰直角三角形，
∵EH⊥AB于H，
∴EH=AB．

【解析】（1）設△ACD的內切圓⊙E與邊AC相切于點I，由題意得CI=CG．同理：AI=AF．再由CA=CB，CI=CG，則AI=BG，從而得出AF=BG．
（2）連接AE、BE、CE，由E是△ACD的內切圓的圓心，則∠ACE=∠BCE，可證明△ACE≌△BCE，則∠AEC=∠BEC，AE=BE，根據∠ADC=90°，可證明△ABE為等腰直角三角形，根據EH⊥AB，得出EH=AB．
【考點精析】本題主要考查了三角形的內切圓與內心的相關知識點，需要掌握三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心才能正確解答此題．