Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象與x軸分別交于A（1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C.

（1）求此二次函數解析式；

（2）點D為拋物線的頂點，試判斷△BCD的形狀，并說明理由；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Ｐ，使得ＰC+ＰA最短？若Ｐ點存在，求出Ｐ點的坐標；若Ｐ點不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）△BCD為直角三角形；（3）存在．P（2，1）．

【解析】

（1）根據點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出二次函數解析式；
（2）利用配方法及二次函數圖象上點的坐標特征，可求出點C、D的坐標，利用兩點間的距離公式可求出CD、BD、BC的長，由BC2+BD2=CD2可證出△BCD為直角三角形；

（3）由（1）知該拋物線的對稱軸為x＝2，點A關于對稱軸x=2的對稱點為點B，連接BC，則直線BC與對稱軸x=2的交點即為點P．求出BC所在直線解析式，求出x=2時y的值，進而得出答案.

（1）將A（1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：

，解得：，

∴此二次函數解析式為y=x2﹣4x+3．

（2）△BCD為直角三角形，理由如下：

∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴頂點D的坐標為（2，﹣1）．

當x=0時，y=x2﹣4x+3=3，

∴點C的坐標為（0，3）．

∵點B的坐標為（3，0），

∴BC==3，

BD=，

CD==2．

∵BC2+BD2=20=CD2，

∴∠CBD=90°，

∴△BCD為直角三角形．

(3)存在．

由（1）知該拋物線的對稱軸為x＝2，

點A關于對稱軸x=2的對稱點為點B，連接BC，則直線BC與對稱軸x=2的交點即為點P．

令直線BC的解析式為y=kx+b，代入點C（0，3）和點Ｂ（3，0），

得，

解得．

所以直線BC的解析式為y=-x+3．

當x=2時，y=-2+3=1，

所以點P（2，1）．