Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，ABCD的頂點的坐標分別為A（﹣6，9），B（0，9），C（3，0），D（﹣3，0），拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）過A、B兩點，頂點為M．

（1）若拋物線過點C，求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點M落在△ACD的內部（包括邊界），求a的取值范圍；
（3）若a＜0，連結CM交線段AB于點Q（Q不與點B重合），連接DM交線段AB于點P，設S1=S△ADP+S△CBQ ， S2=S△MPQ ， 試判斷S1與S2的大小關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點A、B、C的坐標代入拋物線的解析式得： ，

解得：a=﹣ ，b=﹣2，c=9．

將a=﹣ ，b=﹣2，c=9代入得y=﹣ ﹣2x+9．

（2）解：如圖1所示：連接AC交直線x=﹣3與點E．

∵點A、B的縱坐標相等，

∴點M在直線x=﹣3上．

設直線AC的解析式為y=kx+b，將點A、C的坐標代入得： ，

解得：k=﹣1，b=3．

將k=﹣1，b=3代入得：y=﹣x+3．

∵將x=﹣3代入得；y=﹣（﹣3）+3=6．

∴點E的坐標為（﹣3，6）．

設經過點A、B、E三點的拋物線的解析式為y=a（x+3）2+6，將x=0，y=9代入得：9a+6=9．

解得：a= ．

設經過點A、B、D三點的拋物線的解析式為y=a（x+3）2，將x=0，y=9代入得：9a=9．

解得：a=1．

∴ ≤a≤1．

（3）解：如圖2所示：當點Q與點B重合時．

∵DM為拋物線的對稱軸，

∴DM是AB的垂直平分線．

∴AP=PB．

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴∠A=∠PBM．

在△APD和△BPM中， ，

∴△APD≌△BPM．

∴S△APD=S△PMB．

∵點Q在AB上且與點B不重合，

∴PQ＜PB．

∴S△APD＞S△PMB．

∴S△ADP+S△CBQ＞S△MPQ．

∴S1＞S2．

【解析】（1）利用待定系數法，將點A、B、C的坐標代入拋物線的解析式，得到關于a、b、c的三元一次方程組，從而可解得a、b、c的值，從而可求得拋物線的解析式。
（2）點A、B的縱坐標相等，因此拋物線的對稱軸為x=-3，連接AC，交x=-3與點E，先求得AC的解析式，然后求得點E的坐標，由點M在△ACD的內部，從而可知點M在線段ED上，然后求得經過點A、B、D和點A、B、E的解析式，從而可求得a的范圍。
（3）先根據題意畫出圖形，當點Q與點B重合時，可證明△ADP≌△PBM，由于點Q與點B不重合，故此△ADP的面積>△PBM的面積，從而可知判斷出S1與S2的大小關系。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用確定一次函數的表達式和平行四邊形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．