Question

【題目】如圖， 是⊙O外一點， 為切線，割線 經過圓心 ．

（1）若 ，求 的半徑長；
（2）作 的角平分線交 于 ，求 的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，∵PC是⊙O的切線，∴∠PCO=90°，設⊙O的半徑長為r，在Rt△PCO中，PC= ，PO=12-r，CO=r，由勾股定理得： ，解得r=4；

（2）解：∵DP是∠BPC的角平分線，

∴∠CPB=2∠BPD，

∵OC=OB，

∴∠COP=2∠OBC=2∠OCB，在△PCB中，∠CPB+∠B+PCB=180°，

∵∠PCO=90°，

∴∠CPO+∠COP=45°，

∴∠DPB+∠B=45°，

∴∠CDP=∠DPB+∠B=45°．

【解析】【（1）由已知PC是⊙O的切線，添加輔助線連接OC，在Rt△PCO中，利用勾股定理，建立方程即可求出圓的半徑。
（2）根據角平分線的定義得出∠CPB=2∠BPD，再根據等腰三角形的性質及三角形的外角的性質證出∠COP=2∠OBC=2∠OCB，然后根據三角形的內角和定理及等量代換即可求得結果。
【考點精析】本題主要考查了三角形的內角和外角和三角形的外角的相關知識點，需要掌握三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角才能正確解答此題．