Question

【題目】（1）探索發現：如圖1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點C，過點A作AD⊥l，過點B作BE⊥l，垂足分別為D、E．求證：AD＝CE，CD＝BE．

（2）遷移應用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板MON放在平面直角坐標系內，三角板的一個銳角的頂點與坐標原點O重合，另兩個頂點均落在第一象限內，已知點M的坐標為（1，3），求點N的坐標．

（3）拓展應用：如圖3，在平面直角坐標系內，已知直線y＝﹣3x+3與y軸交于點P，與x軸交于點Q，將直線PQ繞P點沿逆時針方向旋轉45°后，所得的直線交x軸于點R．求點R的坐標．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（4，2）（3）（6，0）

【解析】

（1）先判斷出∠ACB=∠ADC，再判斷出∠CAD=∠BCE，進而判斷出△ACD≌△CBE，即可得出結論；

（2）先判斷出MF=NG，OF=MG，進而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出結論；

（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，進而得出Q（1，0），OQ=1，再判斷出PQ=SQ，即可判斷出OH=4，SH=0Q=1，進而求出直線PR的解析式，即可得出結論.

證明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l

∴∠ACB＝∠ADC

∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE

∴∠CAD＝∠BCE，

∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC

∴△ACD≌△CBE，

∴AD＝CE，CD＝BE，

（2）解：如圖2，過點M作MF⊥y軸，垂足為F，過點N作NG⊥MF，交FM的延長線于G，

由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°

∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，

∵M（1，3）

∴MF＝1，OF＝3

∴MG＝3，NG＝1

∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，

∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，

∴點N的坐標為（4，2），

（3）如圖3，過點Q作QS⊥PQ，交PR于S，過點S作SH⊥x軸于H，

對于直線y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3

∴P（0，3），

∴OP＝3

由y＝0得x＝1，

∴Q（1，0），OQ＝1，

∵∠QPR＝45°

∴∠PSQ＝45°＝∠QPS

∴PQ＝SQ

∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP

∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1

∴S（4，1），

設直線PR為y＝kx+b，則 ，解得

∴直線PR為y＝﹣x+3

由y＝0得，x＝6

∴R（6，0）．