Question

【題目】若，是一元二次方程的兩根，則有，，由上式可知，一元二次方程的兩根和、兩根積是由方程的系數確定的，我們把這個關系稱為一元二次方程根與系數的關系．若，是方程的兩根，記，，…，，

________；________；________；________；（直接寫出結果）

當為不小于的整數時，由猜想，，有何關系？

利用中猜想求的值．

Answer 1

【答案】（1）1，3，4，7；（2）；（3）29

【解析】

對于（1）根據根與系數的關系，寫出α＋β，αβ的值，然后運用完全平方公式和立方和公式進行計算，求出S1，S,2，S3，S4的值.

對于（2）利用（1）中S2＝3,S3＝4,S4＝7,猜想Sn＝Sn－1＋Sn－2,然后由α，β是方程的根，得到α2＝α＋1，,β2＝β＋1進行證明.

對于（3）根據（2）中的猜想得到上式為S7＝S6＋S5進行計算，求出式子的值.

由得：．

證明：∵，是方程的根，∴有：，，

．

故．由有：

．