Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BD平分∠ABC，BD⊥DC．

（1）求出sin∠DBC的值；

（2）若AD=2，把∠BOC繞點O順時針旋轉（），交AB于點M，交BC于點N（如圖），求證：四邊形OMBN的面積為一個定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設，根據題意可得，根據BD⊥DC可列出關于x的方程，即可求解；

（2）根據AD∥BC，推出，再結合BD平分∠ABC，即可得到，AB=AD，根據旋轉性質得到從而證的，從而證的.

（1）設，

∵AB＝CD，

∴∠ABC=∠BCD，

∵BD平分∠ABC，

∴，

∴∠BCD=2∠CBD=2x，

，

，

解得：．

；

（2）證明：，

，

．

，

在△ONC和△OMB中，

，

．

∴，

由（1）可知，∠CBD=30°，

∴∠ACB=∠ACD=30°，

∴

，

即四邊形OMBN的面積為一個定值，這個定值為．