Question

【題目】如圖1，是的外接圓，是直徑，是外一點且滿足，連接．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，，求的長；

（3）如圖2，當時，與交于點，試寫出、、之間的數量關系并證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3），證明見解析．

【解析】

（1）連接OC，由AB是直徑知∠ACB=90°，由OB=OC知∠OCB=∠B，結合∠DCA=∠B得∠DCA=∠OCB，據此可得∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，從而得證；

（2）利用AA定理證得，得，從而求解；

（3）在上截取使，連接、．由AB是直徑、∠DAB=45°知∠AEB=90°，據此得△AEB是等腰直角三角形，AE=BE，再證△ECB≌△EFA得EF=EC，據此可知△FEC是等腰直角三角形，從而得出FC＝EC，從而得證．

解：（1）連接，如圖1所示：

∵是的直徑，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴

，

∴，

∵是半徑

∴是的切線；

（2）解：∵

∴

又∵

∴

∴，

即

∴

即的長為；

（3）解：；

理由如下：

在上截取使，連接、，如圖2所示：

∵是直徑，∴，

∵，∴為等腰直角三角形，

∴，，

在和中，，

∴，

∴，

∴，

∴為等腰直角三角形

∴，

∴．