Question

【題目】如圖，已知以的邊為直徑作的外接圓的平分線交于，交于，過作交的延長線于．

（1）求證：是切線；

（2）若求的長．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）

【解析】

（1）要證EF是 的切線，只要連接OE，再證∠FEO=90°即可；
（2）證明△FEA∽△FBE，得出，從而得到AF的值，進而得到，結合勾股定理得到關于AE的方程，即可求出AE的長．

（1）連接OE，

∵∠B的平分線BE交AC于D，

∴∠CBE=∠OBE，

∵EF∥AC，

∴∠CAE=∠FEA，

∵∠OBE=∠OEB，∠CBE=∠CAE，

∴∠FEA=∠OEB，

∵AB是的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴∠FEO=90°，

∴EF是切線；

（2）∵∠FEA=∠OEB=∠OBE，∠F=∠F，

∴FEA~FBE，

∴，

即：，

∴AF×(AF+15)=10×10，解得：AF=5或AF=-20（舍去），

∴，

∵在RtABE中，AE2+BE2=AB2，

∴AE2+（2AE）2=152，

∴AE=．