Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，點E，F分別是OB，OC上的動點．當動點E，F滿足BE＝CF時．

(1)寫出所有以點E或F為頂點的全等三角形；(不得添加輔助線)

(2)求證：AE⊥BF.

Answer 1

【答案】(1) △ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF;(2)見解析

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易得AB=BC，∠ABE=∠CBF=45°，結合BE=CF可得△ABE≌△BCF；由此可得∠AEB=∠CFB，從而可得∠AEO=∠BFO，結合∠AOE=∠BOF=90°及OA=OB可得△AOE≌△BOF；由∠ADE=∠BAF=45°，∠AED=∠BFA結合AD=AB即可得到△ADE≌△BAF；

（2）延長AE交BF于點M，由△ABE≌△BCF，可得∠BAE=∠CBF，結合∠CBF+∠ABF=90°可得∠BAE+∠ABM=90°，從而可得∠AMB=90°，由此即可得到AE⊥BF.

試題解析：

（1）由題意可得：

圖中以點E或F為頂點的全等三角形有：△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF；

(2)延長AE交BF于點M，

∵△ABE≌△BCF，

∴∠BAE＝∠CBF，

∵∠CBF＋∠ABF＝90°，

∴∠BAE＋∠ABF＝90°，

∴∠AMB＝90°，

∴AE⊥BF.