Question

【題目】如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y= x2+bx+c經過點B，且頂點在直線x= 上．

（1）求拋物線對應的函數關系式；
（2）若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點A、B、O的對應點分別是D、C、E，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點P使得△PBD的周長最小，求出P點的坐標；
（4）在（2）、（3）的條件下，若點M是線段OB上的一個動點（點M與點O、B不重合），過點M作∥BD交x軸于點N，連接PM、PN，設OM的長為t，△PMN的面積為S，求S和t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y= 經過點B（0，4）

∴c=4，

∵頂點在直線x= 上，

∴﹣ =﹣ = ，

∴b=﹣ ；

∴所求函數關系式為 ；

（2）解：在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，

∴AB= ，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC=CD=DA=AB=5，

∴C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0），

當x=5時，y= ，

當x=2時，y= ，

∴點C和點D都在所求拋物線上；

（3）解：設CD與對稱軸交于點P，則P為所求的點，

設直線CD對應的函數關系式為y=kx+b，

則 ，

解得： ，

∴ ，

當x= 時，y= ，

∴P（ ），

（4）解：方法一：

∵MN∥BD，

∴△OMN∽△OBD，

∴ 即 得ON= ，

設對稱軸交x于點F，

則 （PF+OM）OF= （ +t）× ，

∵ ，

S△PNF= ×NFPF= ×（ ﹣ t）× = ，

S= （﹣ ），

=﹣ （0＜t＜4），

a=﹣ ＜0∴拋物線開口向下，S存在最大值．

由S△PMN=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴當t= 時，S取最大值是 ，

此時，點M的坐標為（0， ）．

方法二：

∵點B（0，4），D（2，0），∴KBD= =﹣2，，

∵MN∥BD，

∴KMN=KBD=﹣2，

∵M（0，t），∴lMN：y=﹣2x+t，當y=0時，x= ，

∴N（ ，0），

過點N作x軸的垂線交PM于H，

∵P（ ， ），∴lPM：y= x+t，

把x= 代入，得y= ，

∴HN= ，

∴S△PMN= HN×（PX﹣MX）= ，

當t= 時，S= ，

∴點M的坐標為（0， ）．

【解析】（1）把B點的坐標代入拋物線的解析式，求出C的值，根據對稱軸得出b的值，從而求出拋物線的解析式；
（2）利用勾股定理得出AB的長，利用菱形的性質得出BC=CD=DA=AB=5，從而得出C、D兩點的坐標，再進行判斷點C和點D是否在所求拋物線上；
（3）設CD與對稱軸交于點P，則P為所求的點，用待定系數法求出直線CD對應的函數關系式，再求出P點坐標即可；
（4）方法一：由MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，根據相似三角形的性質可得=由此即可表示出ON的長，由S= S 梯 形 P F O M- S △ M O N-S△PNF根據梯形的面積公式和三角形的面積公式表示出S，然后根據二次函數求最值得方法求解即可；方法二： 由B,D兩點的坐標得出KBD=-2，由MN∥BD得KMN=KBD，進而求出N點坐標，過點N作x軸的垂線交PM于H，求出HN，根據三角形面積公式建立出函數模型，根據二次函數求最值得方法得出結論。
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質和二次函數的最值的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．