Question

【題目】如圖，已知△ABC中高AD恰好平分邊BC，∠B=30°，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點且OP=OC，下面的結論：

①AC=AB；②∠APO+∠DCO=30°；③△OPC是等邊三角形；④AC=AO+AP．

其中正確的為（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

試題分析：①根據SAS定理得出△ABD≌△ACD，由全等三角形的性質即可得出結論；

②利用等邊對等角，即可證得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，則∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，據此即可求解；

③證明∠POC=60°且OP=OC，即可證得△OPC是等邊三角形；

④首先證明△OPA≌△CPE，則AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP

解：∵△ABC中高AD恰好平分邊BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD，

在∠ABD與△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD（SAS），

∴AB=AC．

故①正確；

如圖1，連接OB，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，

∴OB=OC，∠ABC=90°﹣∠BAD=30°

∵OP=OC，

∴OB=OC=OP，

∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，

∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；

故②正確；

∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，

∴∠APC+∠DCP=150°，

∵∠APO+∠DCO=30°，

∴∠OPC+∠OCP=120°，

∴∠POC=180°﹣（∠OPC+∠OCP）=60°，

∵OP=OC，

∴△OPC是等邊三角形；

故③正確；

如圖2，在AC上截取AE=PA，

∵∠PAE=180°﹣∠BAC=60°，

∴△APE是等邊三角形，

∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，

∴∠APO+∠OPE=60°，

∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，

∴∠APO=∠CPE，

∵OP=CP，

在△OPA和△CPE中，

，

∴△OPA≌△CPE（SAS），

∴AO=CE，

∴AC=AE+CE=AO+AP；

故④正確．

故選D．