Question

【題目】如圖，兩條射線BA//CD，PB和PC分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P，分別交AB，CD與點A，D．

（1）求∠BPC的度數；

（2）若，求AB+CD的值；

（3）若為a，為b，為c，求證：a+b=c．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）4；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據角平分線定義和平行線的性質，可得∠PBC+∠PCB的值，于是可求∠BPC的值；

（2）在△ABP，△PCD和△BCP中，利用特殊角在直角三角形中的邊關系可求AB+CD的值．

（3）利用角平分線性質作垂直證明全等，通過割法獲得面積關系．

（1）∵BA∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°．

∵PB和PC分別平分∠ABC和∠DCB，∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠BCD，∴∠PBC+∠PCB（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠BPC=90°；

（2）若∠BCD=60°，BP=2，∴∠ABC=180°－60°=120°，∠PCD∠BCD=30°，∴∠ABP∠ABC=60°．

在Rt△ABP中，BP=2，AB=1．在Rt△BCP中，CP=2．在Rt△PCD中，PD，CD=3，∴AB+CD=4．

（3）如圖，作PQ⊥BC．

∵∠ABP=∠QBP，∠BAP=∠BQP，BP=BP．

∴△ABP≌△BQP（AAS）．

同理△PQC≌△PCD（AAS），∴S△BCP=S△BPQ+S△PQC=S△ABP+S△PCD，∴a+b=c．