Question

【題目】已知：點O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB=OC．

(1)如圖1，若點O在邊BC上，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為E，F．求證：AB=AC；

(2)如圖，若點O在△ABC的內部，求證：AB=AC；

(3)若點O在△ABC的外部，AB=AC成立嗎？請畫出圖表示．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）不一定成立，見解析．

【解析】

（1）求證AB=AC，就是求證∠B=∠C， 利用斜邊直角邊定理（HL）證明Rt△OEB≌Rt△OFC即可；
（2）首先得出Rt△OEB≌Rt△OFC，則∠OBE=∠OCF，由等邊對等角得出∠OBC=∠OCB，進而得出∠ABC=∠ACB，由等角對等邊即可得AB=AC；
（3）不一定成立，當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時，有AB=AC；否則，AB≠AC．

（1）證明： ∵點O在邊BC上，OE⊥AB，OF⊥AC，點O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，
∴OE=OF，

在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）證明：過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

由題意知，OE=OF．∠BEO=∠CFO=90°，
∵在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠OBE=∠OCF，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（3）解：不一定成立，當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時AB=AC，否則AB≠AC．（如示例圖）