Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是弧BD的中點，CE⊥AB于點F．

（1）求證：BF=CF；

（2）若CD=3cm，AC=4cm，求⊙O的半徑及CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2.4cm．

【解析】

（1）由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由CE⊥AB，根據同角的余角相等，可證得∠2=∠A，又由點C是的中點證得∠1=∠A，繼而可證得CF=BF．

（2）根據勾股定理即可求得直徑AB的長，進而求得⊙O的半徑，然后證得△CBE∽△ABC，根據相似三角形的性質即可求得CE．

（1）連接BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

又∵CE⊥AB，

∴∠CEB=90°，

∴∠2=90°﹣∠3=∠A，

又∵C是弧BD的中點，

∴∠1=∠A，

∴∠1=∠2，

∴CF=BF；

（2）∵CD=3cm，

∴BC=CD=3cm，

∵AC=4cm，

∴在R△ABC中，AB2=AC2+BC2，

即AB2=32+42，

∴AB=5，

∴⊙O的半徑為2.5cm，

∵∠2=∠A，∠EBC=∠ABC，

∴△CBE∽△ABC，

∴，即，

∴CE=2.4cm．