Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C，E為O上的兩點，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于點D．

（1）求證：DC是⊙O切線；

（2）若AO＝6，DC＝3，求DE的長；

（3）過點C作CF⊥AB于F，如圖2，若AD﹣OA＝1.5，AC＝3，求圖中陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3；（3）

【解析】

（1）連接OC，如圖1，先證明∠1=∠3得到OC∥AD，再利用平行線的性質得OC⊥CD，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）連接BE交OC于H，如圖1，利用圓周角定理得∠AEB=90°，易得四邊形CDEH為矩形，則CD=EH=3，CH=ED，利用垂徑定理得BH=3，然后利用勾股定理計算出OH后計算出CH，從而得到DE的長；

（3）連接OC，如圖2，設⊙O的半徑為r，利用角平分線的性質得CD=CF，則根據勾股定理得AD=AF，于是可計算出OF=1.5，再證明△ACF∽△ABC，利用相似比得到，解得r=3，接著在Rt△OCF中利用解直角三角形得到∠COF=60°，CF=，然后根據扇形面積公式，利用圖中陰影部分面積=S扇形BOC-S△OCB進行計算．

（1）連接OC，如圖1，

∵AC平分∠EAB，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴DC是⊙O切線；

（2）連接BE交OC于H，如圖1，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵OC∥AD，

∴∠OHB=90°，

∴EH=BH，四邊形CDEH為矩形，

∴CD=EH=3，CH=ED，

∴BH=3，

在Rt△OBH中，OH==3，

∴CH=6-3=3，

∴DE=3；

（3）連接OC，如圖2，設⊙O的半徑為r，

∵AC平分∠BAD，CD⊥AD，CF⊥AB，

∴CD=CF，

∴AD=AF=AO+OF，

∵AD-OA=1.5，

∴AO+OF-OA=1.5，即OF=1.5，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠CAF=∠BAC，

∴△ACF∽△ABC，

∴，即，

解得r=-（舍去）或r=3，

在Rt△OCF中，cos∠COF=，

∴∠COF=60°，

∴CF=OF=，

∴圖中陰影部分面積=S扇形BOC-S△OCB=-×3×=π-．