Question

【題目】已知，如圖，在三角形中，，于，且．點從點出發，沿方向勻速運動，速度為；同時點由點出發，沿方向勻速運動，速度為，過點的動直線，交于點，連結，設運動時間為，解答下列問題：

（1）線段_________；

（2）求證：；

（3）當為何值時，以為頂點的四邊形為平行四邊形？

Answer 1

【答案】（1）12；（2）證明見詳解；（3）或t=4s．

【解析】

（1）由勾股定理求出AD即可；
（2）由等腰三角形的性質和平行線的性質得出∠PBQ=∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出結論；
（3）分兩種情況：①當點M在點D的上方時，根據題意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AD-AM=12-4t，由PQ∥MD，當PQ=MD時，四邊形PQDM是平行四邊形，得出方程，解方程即可；
②當點M在點D的下方時，根據題意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AM-AD=4t-12，由PQ∥MD，當PQ=MD時，四邊形PQDM是平行四邊形，得出方程，解方程即可．

（1）解：∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴（cm），
（2）如圖所示：

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，即∠PBQ=∠C，
∵PQ∥AC，
∴∠PQB=∠C，
∴∠PBQ=∠PQB，
∴PB=PQ；

（3）分兩種情況：
①當點M在點D的上方時，如圖2所示：

根據題意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，
∴MD=AD-AM=12-4t，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴當PQ=MD時，四邊形PQDM是平行四邊形，
即：當t=12-4t，時，四邊形PQDM是平行四邊形，
解得：（s）；

②當點M在點D的下方時，如圖3所示：
根據題意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，
∴MD=AM-AD=4t-12，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴當PQ=MD時，四邊形PQDM是平行四邊形，
即：當t=4t-12時，四邊形PQDM是平行四邊形，
解得：t=4（s）；
綜上所述，當或t=4s時，以P、Q、D、M為頂點的四邊形為平行四邊形．