Question

【題目】閱讀下列材料：如圖1，圓的概念：在平面內，線段繞它固定的一個端點旋轉一周，另一個端點所形成的圖形叫做圓.就是說，到某個定點等于定長的所有點在同一個圓上，圓心在，半徑為的圓的方程可以寫為：， 如：圓心在，半徑為5的圓方程為：

（1）填空：以為圓心，為半徑的圓的方程為______；

（2）根據以上材料解決下列問題：如圖2， 以為圓心的圓與軸相切于原點，是上一點，連接，作垂足為，延長交軸于點，已知．

①連接，證明是的切線；

②在上是否存在一點，使？若存在，求點坐標，并寫出以為圓心，以為半徑的的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②存在，以為圓心，以為半徑的方程為．

【解析】

（1）根據閱讀材料中的定義求解；
（2）①根據垂徑定理由BD⊥OC得到CD=OD，則BE垂直平分OC，再根據線段垂直平分線的性質得EO=EC，則∠EOC=∠ECO，加上∠BOC=∠BCO，易得∠BOE=∠BCE=90°，然后根據切線的判定定理得到EC是⊙B的切線；
②由∠BOE=∠BCE=90°，根據圓周角定理得點C和點O都在以BE為直徑的圓上，即當P點為BE的中點時，滿足PB=PC=PE=PO，利用同角的余角相等得∠BOE=∠AOC，則sin∠BOE=sin∠AOC=，在Rt△BOE中，利用正弦的定義計算出BE=5，利用勾股定理計算出OE=4，則E點坐標為（0，4），于是得到線段BE的中點P的坐標為，然后寫出以P為圓心，以為半徑的⊙P的方程．

（1）根據題意可得：以為圓心，為半徑的圓的方程為

故答案為：

（2）①

垂直平分，

，

是的切線

②存在，

點和點都在以為直徑的圓上，

當點為的中點時，滿足

點坐標為

在中，

點坐標為，

線段BE的中點的坐標為，

以為圓心，以為半徑的的方程為