Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是CD邊上一動點，DF⊥BE交BE的延長線于F．

（1）如圖（1），若BE平分∠DBC時，

①直接寫出∠FDC的度數；

②延長DF交BC的延長線于點H，補全圖形，探究BE與DF的數量關系，并證明你的結論；

（2）如圖（2），過點C作CG⊥BE于點G，猜想線段BF，CG，DF之間的數量關系，并證明你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）①22.5°；②BE＝2DF，（2）BF＝2CG+DF

【解析】

（1）①根據正方形的性質得到∠DBC＝45°，根據角平分線的性質、三角形內角和定理計算，得到答案；

②根據題意補全圖形，證明△BFD≌△BFH，得到DF＝FH＝DH，證明△BCE≌△DCH，根據全等三角形的性質證明結論；

（2）在BF上取點H，使FH＝DF，連接DH、FC，證明△BDH∽△CDF，得到，∠DBH＝∠DCF，根據等腰直角三角形的性質計算即可．

解：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠DBC＝45°，

∵BE平分∠DBC，

∴∠DBE＝∠CBE＝22.5°，

∵∠F＝∠C＝90°，∠DEF＝∠BEC，

∴∠FDC＝∠CBE＝22.5°；

②補全圖形如圖（1）所示，

BE＝2DF，

理由如下：在△BFD和△BFH中，

，

∴△BFD≌△BFH（ASA）

∴DF＝FH＝DH，

在△BCE和△DCH中，

，

∴△BCE≌△DCH（ASA）

∴BE＝DH＝2DF；

（2）BF＝2CG+DF

理由如下：在BF上取點H，使FH＝DF，連接DH、FC，

∵FD＝FH，∠DFH＝90°，

∴∠FHD＝∠FDH＝45°，DH＝DF，

∵∠BDC＝45°，

∴∠BDC＝∠HDF，

∴∠BDH＝∠CDF，

∵，∠BDH＝∠CDF，

∴△BDH∽△CDF，

∴，∠DBH＝∠DCF，

∵∠GBC＝90°﹣∠BCG＝∠GCH，

∴∠GCF＝∠DBC＝45°，

∴FC＝CG，

∴BH＝2CG，

∴BF＝BH+HF＝2CG+DF．