Question

【題目】如圖1，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且．

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）設P是（1）中拋物線上的一個動點，當直線OC平分∠ACP時，求點P的坐標；

（3）如圖2，點G是線段AC的中點，動點E從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，動點F從點B出發，以每秒個單位長度的速度向終點C運動，若E、F兩點同時出發，運動時間為t秒．則當t為何值時，的面積是的面積的？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當或

【解析】

（1）根據OA、OB的長度求出點A、B的坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）設與軸相交于點，先求出C，D的坐標，再求出直線的解析式，聯立拋物線的函數表達式得出方程組，解方程組即可得點P的坐標；
（3）先求出t的取值范圍，過點作⊥軸于點，用t表示出BM的長度，然后用t表示出EH、HM、EM的長度，分兩種情況求出的面積，求出△ABC的面積，根據的面積是的面積的列出關于t的方程，解方程即可求解．

解：（1）∵

∴

把分別代入得：

解得：

∴

（2）如圖，設與軸相交于點

∵平分，⊥

∴

∴

把代入得

∴

設直線的解析式為

把分別代入得

解得：

∴

依題意得

解得，

∴

（3）如圖，過點作⊥軸于點

∵∥軸

∴∽

∴

∴由

得

點運動到點的時間為秒，

點運動到點的時間為秒

當時，如圖

過點作⊥軸于點

依題意得：

∵，

∴

∴

∴

或

∵

的面積是的面積的

∴或=

解得：（舍去）或（舍去）

當時，如圖

∴

綜上所述，當或時，的面積是的面積的．