Question

【題目】如圖，我市云臺山景區內一條筆直的公路a經過三個景點A、B、C，現在市政府決定開發風景優美的景點D.經測量景點D位于景點A的北偏東30方向12km處，位于景點B的正北方向，還位于景點C的北偏西75方向上．已知AB=km．

（1）現準備由景點Ｄ向公路a修建一條距離最短的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長；

（2）求出景點B與景點C之間的距離(結果保留根號)．

Answer 1

【答案】（1）6km;（2）.

【解析】試題分析:(1) 過點D作DE⊥AC于點E，過點A作AF⊥DB，交DB的延長線于點F，求DE的問題就可以轉化為求∠DBE的度數或三角函數值的問題;(2)Rt△DCE中根據三角函數就可以求出CD的長．

試題解析: (1)如圖，過點D作DE⊥AC于點E，

過點A作AF⊥DB，交DB的延長線于點F，

在Rt△DAF中,∠ADF=30°，

∴AF=AD=×12=6，

∴DF===6，

在Rt△ABF中BF===2，

∴BD=DFBF=6-2=4，

sin∠ABF==，

在Rt△DBE中,sin∠DBE=，

∵∠ABF=∠DBE，

∴sin∠DBE=，

∴DE=BDsin∠DBE=×4=6(km)，

∴景點D向公路a修建的這條公路的長約是6km；

(2)由題意可知∠CDB=75°，

由(1)可知sin∠DBE=,所以∠DBE=60°，

∴∠DCB=180°75°60°=45°，

在Rt△DCE中，CE=DE=6 (km)，

在Rt△DBE中, ∠BDE=75°-45°=30°,

∴BE=BD= (km),

∴BC=6+ (km)

∴景點B與景點C之間的距離為6+km.