Question

【題目】將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉θ度，并使各邊長變為原來的n倍，得△AB′C′ ，如圖①所示，∠BAB′ ＝θ， ，我們將這種變換記為[θ，n] ．

（1）如圖①，對△ABC作變換[60°，]得到△AB′C′ ，則:= ；直線BC與直線B′C′所夾的銳角為 度；

（2）如圖②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，對△ABC作變換[θ，n]得到△AB′C′，使點B、C、在同一直線上，且四邊形ABB′C′為矩形，求θ和n的值；

（3）如圖③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，對△ABC作變換[θ，n]得到△AB′C′，使點B、C、B′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為平行四邊形，求θ和n的值．

Answer 1

【答案】（1） 3 ; 60°；（2）2；（3）

【解析】試題分析：（1）由旋轉與相似的性質，即可得S△AB′C′：S△ABC=3，然后由△ABN與△B′MN中，∠B=∠B′，∠ANB=∠B′NM，可得∠BMB′=∠BAB′，即可求得直線BC與直線B′C′所夾的銳角的度數；

（2）由四邊形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度數，又由含30°角的直角三角形的性質，即可求得n的值；

（3）由四邊形ABB′C′是平行四邊形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根據相似三角形的對應邊成比例，易得AB2=CBBB′=CB（BC+CB′），繼而求得答案．

試題解析：

（1）根據題意得：△ABC∽△AB′C′，

∴S△AB′C′：S△ABC=（）2=（）2=3，∠B=∠B′，

∵∠ANB=∠B′NM，

∴∠BMB′=∠BAB′=60°；

（2）∵四邊形 ABB′C′是矩形，

∴∠BAC′=90°．

∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90-30=60°．

在 Rt△ABB′中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，

∴∠AB′B=30°，

∴n= =2；

（3）∵四邊形ABB′C′是平行四邊形，

∴AC′∥BB′，

又∵∠BAC=36°，

∴θ=∠CAC′=∠AC′B′=72°．

∴∠BB′A=∠BAC=36°，而∠B=∠B，

∴△ABC∽△B′BA，

∴AB：BB′=CB：AB，

∴AB2=CBBB′=CB（BC+CB′），

而CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，

∴AB2=1（1+AB），

∴AB=，

∵AB＞0，

∴n==．