Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是，且經過A（﹣4，0），C（0，2）兩點，直線l：y=kx+t（k≠0）經過A，C．

（1）求拋物線和直線l的解析式；

（2）點P是直線AC上方的拋物線上一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交AC于點E，過點P作PF⊥AC，垂足為F，當△PEF≌△AED時，求出點P的坐標；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，Q的坐標為：或或或或．

【解析】

（1）把點A、C的坐標和對稱軸表達式代入二次函數表達式，即可求解；

（2）PEn2n+2n﹣2，DEn+2，sin∠EAD=sin∠CAO，，則AEDE（n+2），當△PEF≌△AED時，PE=AE，n2﹣2n（n+2），即可求解；

（3）等腰三角形分A為頂角頂點、以C為頂角頂點、點Q為頂角頂點，三種情況分別求解即可．

（1）把點A、C的坐標和對稱軸表達式代入二次函數表達式得：，解得：，故拋物線的表達式為：yx2x+2；

同理把點A、C坐標代入直線l表達式并解得：yx+2；

（2）設P點坐標為（n，n2n+2），∴E點坐標為（n，n+2），∴PEn2n+2n﹣2，DEn+2．

∵A（﹣4，0），C（0，2），OA=4，OC=2，AC=2．

∵PD⊥x軸于點D，∴∠ADE=90°，∴sin∠EAD=sin∠CAO，，∴AEDE（n+2），當△PEF≌△AED時，PE=AE，n2﹣2n（n+2），解得：n=﹣4或（舍去﹣4），∴n=，∴P（，）；

（3）存在，理由如下：

①以A為頂角頂點，AQ=AC，由（2）知AC=2，若設對稱軸與x軸交于點G，則AG（﹣4）；

GQ1=GQ2，故點Q1、Q2的坐標分別為（，）、（，）；

②以C為頂角頂點，CQ=CA=2，過點C作x軸的平行線，交拋物線的對稱軸于點M，則M（，2），則CM，MQ3，Q3G=2，Q4G=﹣2，故Q3、Q4坐標分別為（，2）、（，2）；

③以點Q為頂角頂點時，同理可得點Q5（，0）；

故點Q的坐標為：（，）或（，）或（，2）或（，2）或（，0）．