Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c經過A（-1，0），C（2，-3）兩點，與y軸交于點D，與x軸交于另一點B．

（1）求此拋物線的解析式及頂點坐標；

（2）若將此拋物線平移，使其頂點為點D，需如何平移？寫出平移后拋物線的解析式；

（3）過點P（m，0）作x軸的垂線（1≤m≤2），分別交平移前后的拋物線于點E，F，交直線OC于點G，求證：PF=EG．

Answer 1

【答案】（1），（，）；（2）向左個單位長度，再向上平移個單位長度．平移后的拋物線解析式為：．（3）證明見解析.

【解析】

試題（1）把A（-1，0），C（2，-3）代入y=x2+bx+c，得到關于b、c的二元一次方程組，解方程組求出b、c的值，即可求出拋物線的解析式，再利用配方法將一般式化為頂點式，即可求出頂點坐標；

（2）先求出拋物線y=x2-x-2與y軸交點D的坐標為（0，-2），再根據平移規律可知將點（，-）向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，可得到點D，然后利用頂點式即可寫出平移后的拋物線解析式為：y=x2-2；

（3）先用待定系數法求直線OC的解析式為y=-x，再將x=m代入，求出yG=-m，yF=m2-2，yE=m2-m-2，再分別計算得出PF=-（m2-2）=2-m2，EG=yG-yE=2-m2，由此證明PF=EG．

試題解析：（1）解：把A（-1，0），C（2，-3）代入y=x2+bx+c，

得：，解得：，

∴拋物線的解析式為：，

∵=，

∴其頂點坐標為：（，-）；

（2）解：∵

∴當x=0時，y=-2，

∴D點坐標為（0，-2）．

∵將點（，-）向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，可得到點D，

∴將向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，頂點為點D，

此時平移后的拋物線解析式為：；

（3）證明：設直線OC的解析式為y=kx，

∵C（2，-3），

∴2k=-3，解得k=-，

∴直線OC的解析式為y=-x．

當x=m時，yF=m2-2，則PF=-（m2-2）=2-m2，

當x=m時，yE=m2-m-2，yG=-m，

則EG=yG-yE=2-m2，

∴PF=EG．