Question

【題目】已知二次函數y=ax2+bx﹣3a經過點A（﹣1，0）、C（0，3），與x軸交于另一點B，拋物線的頂點為D．

（1）求此二次函數解析式；

（2）連接DC、BC、DB，求證：△BCD是直角三角形；

（3）在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．（2）證明見解析；（3）點P坐標為（， ）或（2，3）．

【解析】試題（1）將A（﹣1，0）、C（0，3），代入二次函數y=ax2+bx﹣3a，求得a、b的值即可確定二次函數的解析式；（2）分別求得線段BC、CD、BD的長，利用勾股定理的逆定理進行判定即可；（3）分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論．運用兩點間距離公式建立起P點橫坐標和縱坐標之間的關系，再結合拋物線解析式即可求解．

試題解析：（1）∵二次函數y=ax2+bx﹣3a經過點A（﹣1，0）、C（0，3），∴將A（﹣1，0）、C（0，3），代入，得，解得，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）如圖，連接DC、BC、DB，由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4得，D點坐標為（1，4），∴CD==，BC==3，BD==2，∵CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）y=﹣x2+2x+3對稱軸為直線x=1．假設存在這樣的點P,①以CD為底邊，則P1D=P1C，設P1點坐標為（x，y），根據勾股定理可得P1C2=x2+（3﹣y）2，P1D2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，因此x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P1點（x，y）在拋物線上，∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=＜1，(不滿足在對稱軸右側應舍去），∴x=，∴y=4﹣x=，即點P1坐標為（， ）．②以CD為一腰，∵點P2在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P2與點C關于直線x=1對稱，此時點P2坐標為（2，3）．∴符合條件的點P坐標為（， ）或（2，3）．